Внутренняя геометрия и граничная структура плоских областей

Для непустого компактного множества $ E $ в собственной подобласти $ \Omega $ комплексной плоскости обозначим диаметр $ E $ и расстояние от $ E $ до границы $ \Omega $ через $ d (E) $ и $ d (E, \partial \Omega) $ соответственно. Величина $ d (E) / d (E, \partial \Omega) $ инвариантна относительно подобий и играет важную роль в геометрической теории функций. В работе, когда $ \Omega $ снабжена гиперболическим расстоянием $ h_ \Omega (z, w) $, рассматривается инфимум $ \kappa (\Omega) $ величины $ h_ \Omega (E) / \log (1 + d (E) / d (E, \partial \Omega)) $ по компактным подмножествам $ E \subset \Omega $ c не менее чем двумя точками, где $ h_ \Omega (E) $ — гиперболический диаметр множества $ E $.
Основные результаты состоят в том, что $ \kappa (\Omega) $ положительно тогда и только тогда, когда граница $ \Omega $ равномерно совершенна, и неравенство $ \kappa (\Omega) \le \kappa (\Bbb {H}) $ ($ \Bbb {H} $ — верхняя полуплоскость) выполняется для всех $ \Omega $, а равенство достигается в точности тогда, когда $ \Omega $ выпукло.