Эта публикация цитируется в
3 статьях
Новые спектры степеней польских пространств
А. Г. Мельниковab a School of Mathematics and Statistics, Victoria University of Wellington, New Zealand
b Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
Аннотация:
Основной результат состоит в следующем. Фиксируем произвольно простое число
$q$.
$q$-Делимая (дискретная, счетная) абелева группа
$G$ без кручения имеет
$\Delta^0_2$-представление тогда и только тогда, когда ее связная двойственная польская группа по Понтрягину — ван Кампену
$\widehat{G}$ допускает вычислимую полную метризацию (где не требуется, чтобы операции были вычислимыми).
Используется эта теорема о двойственности/скачковой инверсии для того, чтобы перевести результаты о спектрах степеней абелевых групп без кручения в результаты о спектрах степеней польских пространств с точностью до гомеоморфизма. Например, отсюда вытекает, что для любого вычислимого ординала
$\alpha>1$ и любого
$\mathbf{a} > 0^{(\alpha)}$ существует связное компактное польское пространство, имеющее собственную
$\alpha$-ю скачковую степень
$\mathbf{a}$ (с точностью до гомеоморфизма). Также для любого вычислимого ординала
$\beta$ вида
$1+\delta + 2n +1$, где
$\delta$ равен нулю или является предельным ординалом и
$n \in \omega$, найдется связное польское пространство, имеющее
$X$-вычислимую копию тогда и только тогда, когда
$X$ —
$non$-
$low_{\beta}$. В частности, существует польское пространство, имеющее в точности
$non$-
$low_{2}$ полные метризации. Случай, когда
$\beta=2$, является неожиданным следствием основного результата магистерской диссертации, написанной под руководством С. С. Гончарова.
Ключевые слова:
вычислимый анализ, конструктивные группы, проблемы разрешимости, связное пространство.
УДК:
510.5
MSC: 35R30 Статья поступила: 26.05.2021
Окончательный вариант: 27.06.2021
Принята к печати: 11.08.2021
DOI:
10.33048/smzh.2021.62.511