К вопросу обоснования метода Гельфанда — Левитана — Крейна для двумерной обратной задачи

Рассматривается обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка об определении коэффициента $q(x,y)$, входящего в уравнение. Обсуждается схема решения этой задачи, предложенная С. И. Кабанихиным около 30 лет назад. Эта схема обобщает метод Гельфанда — Левитана — Крейна, созданный ими для решения обратной спектральной задачи, на многомерный случай и приводит решение обратной задачи к некоторой бесконечной системе линейных интегральных уравнений. Математического обоснования этой схемы к настоящему времени не получено. Однако численные эксперименты, основанные на ее $N$-приближении, дают хорошие результаты.
В статье обоснованы отдельные элементы схемы, связанные с построением бесконечной системы интегральных уравнений в случае, когда коэффициент $q(x,y)$ является аналитической функцией по переменной $x$. В частности, доказана сходимость рядов в этих уравнениях, найдены условия, при выполнении которых обосновано $N$-приближение системы. Установлено также, что бесконечная система интегральных уравнений не является фредгольмовой. Вопрос о ее разрешимости остается открытым.