Теоремы о произведении для альтернативных алгебр и некоторые их применения

Для ассоциативных алгебр над кольцом скаляров, содержащим $\frac{1}{6}$, известны теоремы о произведении для произвольных алгебр и для алгебр ранга $3$. Доказано, что для альтернативных алгебр ранга 3 справедлив точный аналог теоремы о произведении. Описаны тождества от $3$-х переменных, выполняющиеся во всех альтернативных алгебрах, Ли-нильпотентных заданной степени. Также доказан аналог теоремы о произведении в общем виде без ограничений на ранг алгебры. Показано, что точный аналог теоремы о произведении для альтернативных алгебр не имеет места. Исследована связь между понятиями Ли-нильпотентности и сильной Ли-нильпотентности для исходной алгебры ранга $3$ и ее алгебры умножений.