О распределении случайного степенного ряда на диадической полупрямой

Рассматривается аналог сформулированной и частично решенной Паулем Эрдешом задачи на диадической полупрямой — положительной полупрямой, снабженной операцией поразрядного двоичного сложения и стандартной мерой Лебега. Для случайной величины $\xi$ в виде ряда из степеней $\lambda \in (0, 1)$ ставится вопрос: при каких $\lambda$ плотность распределения $\varphi$ этой случайной величины принадлежит функциональному пространству интегрируемых на диадической полупрямой по модулю функций? В статье получены результаты при некоторых значениях $\lambda$, а также рассмотрена так называемая «двойственная задача», где $\lambda = \frac{1}{2}$ фиксирована, но у коэффициентов, входящих в формулу для $\xi$, больше степеней свободы. В рамках двойственной задачи получены критерии существования плотности как в терминах решения масштабирующего уравнения, непосредственно связанного со случайной величиной, так и в терминах коэффициентов, задающих эту случайную величину.