О конечных $p$-группaх, не удовлетворяющих гипотезе Хьюза

Для контрпримеров к известной гипотезе Хьюза о конечных группах (которые могут быть только $p$-группами) доказывается аналог теоремы Магнуса–Санова о $(p-1)$-енгелевости присоединенною кольца Ли (теорема 1). Следствие: положительное решение проблемы Хьюза для почти всех конечных $p$-групп. Если индекс подгруппы Хьюза $H_p(G)=\langle x\in G|x^p\ne1\rangle$ конечной $p$-группы $G$ равен $p^k$, то присоединенное кольцо Ли группы $G$ удовлетворяет всем полилинейным тождествам степени $\leqslant(k-1)(p-1)+1$ присоединенного кольца Ли свободной группы простого периода $p$ (теорема 2). Следствие: если все соотношения присоединенного кольца Ли свободной группы периода $p$ являются следствиями конечного числа полилинейных тождеств, то индекс подгруппы Хьюза ограничен в терминах $p$. Если в конечной $p$-группе $P$ индекс нетривиальной подгруппы Хьюза $H_p(P)$ равен $p^k$, то имеется нижняя оценка ступени нильпотентности группы $P$ в терминах строения фактор-группы $P/H_p(P)$ (теорема 3). Эта оценка является квадратичной функцией ступени нильпотентности группы $P/H_p(P)$. В результате при условии, что существует линейная функция от $d$, ограничивающая ступень нильпотентности $d$-порожденной $(p-1)$-энгелевой алгебры Ли характеристики $p$, получается верхняя оценка, зависящая только от $p$, для ступени нильпотентности фактор-группы $P/H_p(P)$ (теорема 4, совместный результат с Е. И. Зельмановым). Пока существование такой линейной функции известно только для $p=5$ (наряду с тривиальными случаями $p=2\text{ и }3$).
Библиогр. 21.