Эта публикация цитируется в
27 статьях
Карлемановские оценки для гиперболического уравнения второго порядка
В. Г. Романов Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Аннотация:
В пространстве переменных
$(x,t)\in\mathbb{R}^{n+1}$ рассматривается линейное гиперболическое уравнение второго порядка с коэффициентами, зависящими лишь от
$x$. Для области
$D\subset\mathbb{R}^{n+1}$, проекция которой на пространство переменной
$x$ является компактной областью
$\Omega$, рассматривается вопрос о построении оценки устойчивости решения задачи Коши с данными на боковой границе
$S$ области
$D$. Известный метод получения такой оценки основан на карлемановских оценках с весовой функцией экспоненциального типа
$\exp(2\tau\varphi(x,t))$, построение которой для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами встречает определенные трудности. Показано, что для области
$D$, симметричной относительно плоскости
$t=0$, в качестве функции
$\varphi(x,t)$ может быть взята
$\varphi(x,t)=s^2(x,x^0)-pt^2$, в которой
$s(x,x^0)$ – расстояние между точками
$x$ и
$x^0$ в римановой метрике, индуцированной дифференциальным уравнением,
$p$ – некоторое положительное число, меньшее единицы, а фиксированная точка
$x^0$ может либо принадлежать области
$\Omega$, либо быть вне ее. Относительно метрики предполагается, что секционные кривизны соответствующего риманова пространства ограничены сверху некоторым числом
$k_0\geqslant0$. Для случая пространства неположительной кривизны параметр
$p$ может быть взят сколь угодно близким к 1, в этом случае оценки устойчивости приводят в предельном случае
$p\to1$ к теореме единственности, точно описывающей область продолжения решения через поверхность
$S$. Для пространства ограниченной положительной кривизны построение карлемановской оценки оказывается возможным лишь при выполнении некоторого условия малости произведения
$k_0$ и
$\sup\limits_{x\in\Omega}\,s^2(x,x^0)$.
Ключевые слова:
карлемановские оценки, задача Коши, устойчивость, единственность.
УДК:
517.958 Статья поступила: 25.07.2005