Стохастизация классических моделей с динамическими инвариантами

Рассматривается возможность построения стохастических вариантов для известных моделей, описываемых системой дифференциальных уравнений и обладающих известным первым интегралом. Предложенный метод стохастизации отпирается на понятие первого интеграла системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и теорему о построении системы СДУ на основе первого интеграла. Рассматриваются три модели – модель распространения инфекционных заболеваний (SIR-модель), модель “хищник – жертва” и модель многостадийной полиферментной реакции. Стохастизация осуществляется за счет внесения трех дополнительных слагаемых. Первое слагаемое – диффузионное, обусловленное влиянием винеровского процесса. Второе описывает мгновенный качественный переход, связанный с реализацией пуассоновского процесса. Третье слагаемое – дополняющая функция для коэффициента сноса. Для первых двух моделей построены варианты систем диффузионных уравнений Ито со скачками, для третьей – без скачков. Для построения коэффициентов СДУ используются функция – первый интеграл и несколько дополнительных произвольных функций. Показано, что выбор дополнительных функций позволяет построить систему уравнений с такими коэффициентами, чтобы решение этой системы удовлетворяло разумным ограничениям. Приведены примеры с численным решением построенных уравнений, которые подтверждают сохранение значения динамического инварианта при любой реализации решения СДУ.