Краевая задача для уравнения параболического типа в нецилиндрической области

Излагается применение метода разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора к решению одной нестационарной задачи теплообмена с фазовым переходом на примере процесса промерзания некоторой сплошной среды. Получено приближенно-аналитическое решение задачи в неавтомодельной постановке при специальных начальных условиях. Решение задачи начинается с ее преобразования к области с неподвижными границами, затем для решения преобразованной задачи строится конечное интегральное преобразование с неизвестным ядром, нахождение которого связано с постановкой и решением соответствующей спектральной задачи через вырожденные гипергеометрические функции. Находятся собственные значения и собственные функции, а также формула обращения для введенного интегрального преобразования, что позволяет выписать аналитическое решение задачи. В ходе решения задачи устанавливается параболический закон движения границы раздела двух фаз. Задачи подобного типа возникают при математическом моделировании процессов теплообмена в строительстве, особенно в районах вечной мерзлоты, в нефтегазодобыче при бурении и эксплуатации скважин, в металлургии и т.д.