Аннотация:
Изучается разрешимость задачи Дирихле для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа вида $$D_t\big[(-1)^pD^{2p+1}_tu-h(x)u_{xx}\big]+a(x)u_{xx}+c(x,t)u=f(x,t)$$ в области $Q=
\{(x,t)\,:\,x\in(-1,0)\cup(0,1),\,t\in(0,T),\,0<T<+\infty\}$ ($p\geq 1$ целое, $D^k_t=\frac{\partial^k}{\partial t^k},$$D_t=\frac{\partial}{\partial t}$). Особенностью рассматриваемых уравнений является то, что коэффициенты $h(x)$ и $a(x)$ в нем могут иметь разрыв первого рода при переходе через точку $x = 0$. Помимо обычных граничных условий Дирихле в изучаемой задаче задаются также условия сопряжения на линии $x = 0$. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.
Ключевые слова:дифференциальные уравнения составного типа, задача Дирихле, разрывные коэффициенты, регулярные решения, существование, единственность.
УДК:
517.946
Поступила в редакцию: 20.10.2021 Исправленный вариант: 20.10.2021 Принята в печать: 26.11.2021