Признаки устойчивости одного класса автономных дифференциальных «псевдолинейных» уравнений первого порядка с авторегулируемым запаздыванием

Статья посвящена получению эффективных признаков экспоненциальной устойчивости некоторых классов автономных дифференциальных уравнений первого порядка с авторегулируемым запаздыванием. Дан обзор работ из г. Перми и из г. Иванова по этой теме. Приведен критерий С.А. Гусаренко о непрерывности оператора с авторегулируемым запаздыванием. Приведено условие В.П. Максимова о полной непрерывности оператора с авторегулируемым запаздыванием. Сформулированы достаточные условия существования и продолжимости решений. Сформулированы теоремы об устойчивости по первому приближению. Эти теоремы основаны на теоремах из книги и статей Н.В. Азбелева и П.М. Симонова. Теоремы об устойчивости по первому приближению по внешнему виду хотя и напоминают известные теоремы Ляпунова о первом приближении, однако в действительности существенно отличаются от последних. Теоремы Ляпунова для обыкновенных дифференциальных или функционально-дифференциальных уравнений дают методику исследования устойчивости: с помощью линеаризации нелинейной части уравнения вопрос об устойчивости нелинейного уравнения сводится к вопросу об устойчивости линейного уравнения, для которого уже доказаны эффективные признаки устойчивости. В нашем случае не удается линеаризовать нелинейные части уравнений, а потому вышеупомянутая методика здесь не применима. В статье, заменяя процесс линеаризации уравнения “псевдолинеаризацией”, а также используя результаты статьи В.В. Малыгиной, мы получили некоторые аналоги теорем о первом приближении для скалярных, автономных уравнений с авторегулируемым запаздыванием. Основные выводы, полученные на основании этой идеи, можно оформить следующей фразой: автономные дифференциальные уравнения с авторегулируемым запаздыванием обладают свойствами устойчивости, подобными свойствам соответствующих им уравнений с сосредоточенным запаздыванием.