К проблеме существования интегральных многообразий системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных

Рассматривается задача нахождения локального ненулевого интегрального многообразия нелинейной $(n+m)$ -мерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных. Предполагается, что у изучаемой системы имеется $n$-мерное тривиальное интегральное многообразие при всех значениях параметра, а соответствующая линейная подсистема имеет $m$-параметрическое семейство периодических решений. Это означает, в частности, что линейная система не обладает свойством экспоненциальной дихотомии. Допускается, что матрица линейного приближения системы при нулевом значении параметра является функцией от независимой переменной. Проблема существования интегрального многообразия сводится к проблеме разрешимости операторных уравнений в пространстве ограниченных Липшиц-непрерывных периодических вектор-функций. Для доказательства наличия интегрального многообразия исходная система подвергается линеаризации, к которой применяется метод преобразующей матрицы. Метод преобразующей матрицы удается распространить в том числе и на случай отсутствия линейных по параметру членов операторных уравнений. Получены достаточные условия существования в окрестности состояния равновесия системы $n$-мерного ненулевого периодического интегрального многообразия.