Об одной оценке в пространстве Соболева, порождаемойвырождающимся эллиптическим оператором второго порядка, определённой в полуплоскости

Рассматривается эллиптический оператор, который определен в полуплоскости и вырождается вдоль нормали к границе этой полуплоскости. Уточнены результаты, полученные автором ранее. Построено разбиение единицы двойственной переменной, позволяющее "заморозить" производные по ортогональному направлению к множеству вырождения и осуществить гладкое продолжение функции на всю плоскость. Показано, что это продолжение и "стандартное" продолжение, подробно изученное Л.Н. Слободецким, достаточно для получения необходимой априорной оценки. При этом неравенства доказываются при помощи преобразования Фурье по части переменных и неравенства Шварца. Установлено, что Соболевская норма производных второго порядка функции будет конечной, если ее сужение на границу полуплоскости и ее образ, порождающим действием на эту функцию изучаемым оператором принадлежат пространствам Соболева с показателями 3, 2 соответственно. Полученные результаты можно распространить на более широкий класс операторов, могут быть применены при изучении краевых задач для вырождающихся эллиптических и квазиэллиптических операторов, заданных в полупространствах.