Об обратимости решений линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых алгебрах

Работа посвящена изучению некоторых свойств линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых алгебрах. В ней найдено (для некоторых типов банаховых алгебр), при какой правой части такого уравнения из обратимости начального условия следует обратимость его решения в любой момент времени. Рассматриваются (ассоциативные) банаховы алгебры над полем действительных или комплексных чисел. Правые части изучаемых уравнений имеют вид $\bigl[F(t)\bigr]\bigl(x(t)\bigr)$, где $\{F(t)\}$ — непрерывное относительно $t\in\mathbb{R}$ семейство ограниченных операторов на алгебре. Задача состоит в том, чтобы для заданной банаховой алгебры найти все непрерывные семейства ограниченных операторов на ней, сохраняющие обратимость элементов из алгебры. В данной статье эта задача решена лишь для трех случаев. В первом случае алгебра состоит из всех квадратных матриц заданного порядка. Для этой алгебры показано, что все непрерывные семейства операторов, сохраняющие обратимость элементов из алгебры в нуле, должны иметь вид $[F(t)](y) = a(t)\cdot y + y\cdot b(t)$, где семейства $\{a(t)\}$ и $\{b(t)\}$ также непрерывны. Во втором случае алгебра состоит из всех непрерывных функций на отрезке. Для этого случая показано, что все семейства операторов, сохраняющие обратимость элементов из алгебры в любой момент, должны иметь вид $[F(t)](y) = a(t)\cdot y$, где семейство $\{a(t)\}$ также непрерывно. К третьему случаю относятся те банаховы алгебры, в которых обратимы все ненулевые элементы. Например, этим свойством обладают алгебра комплексных чисел и алгебра кватернионов. В этом случае обратимость элементов из алгебры в любой момент сохраняют любые непрерывные семейства ограниченных операторов. Предлагаемое исследование соприкасается с исследованиями основ квантовой механики. Динамика квантовых наблюдаемых описывается уравнением Гейзенберга. Полученные результаты являются косвенным аргументом в пользу того, что известная форма уравнения Гейзенберга — единственно правильная.