Эндоморфизмы и антиэндоморфизмы некоторых конечных группоидов

В настоящей работе изучаются антиэндоморфизмы некоторых конечных группоидов. Ранее были введены специальные группоиды $S(k, q)$ с порождающим множеством из $k$ элементов и порядком $k(1+k)$. Ранее исследовались вопросы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов данного группоида (в частности, автоморфизмов). Было показано, что всякий конечный моноид изоморфно вложим в моноид всех эндоморфизмов подходящего группоида $S(k, q)$. В данной статье приводится поэлементное описание множества всех антиэндоморфизмов группоида $S(k, q)$. Установлено, что в зависимости от группоида $S(k, q)$ множество всех его антиэндоморфизмов может быть замкнутым или не замкнутым относительно композиции отображений. Для поэлементного описания антиэндоморфизмов изучается действие произвольного антиэндоморфизма на порождающих элементах группоида. При данном подходе антиэндоморфизм попадает в один из трех классов. Антиэндоморфизмы из двух полученных классов будут являться эндоморфизмами данного группоида. Оставшийся класс антиэндоморфизмов в зависимости от конкретного группоида $S(k, q)$ может состоять или не состоять из эндоморфизмов. В данной работе исследуются эндоморфизмы некоторых конечных группоидов $G$ с порядком, удовлетворяющим некоторому неравенству. Построены некоторые эндоморфизмы таких группоидов и показано, что всякий конечный моноид изоморфно вкладывается в моноид всех эндоморфизмов подходящего группоида $G$. Для доказательства данного результата существенно используется обобщение теоремы Кэли на случай моноидов (полугрупп с единицей).