Полиномиальные представления дискретных функций

Рассматриваются дискретные функции от $n$ переменных, заданные на прямом произведении конечных множеств $M_1\times\dots\times M_n$ и принимающие значения в произвольном множестве $U$. Наделение множества $U$ операциями коммутативного кольца $R$ с единицей позволяет превратить класс функций указанного вида в $R$-модуль $D(M_1\times\dots\times M_n;R)$, изоморфный тензорному произведению $R$-модулей $D(M_i;R)$, $i=1,\dots,n$. Следовательно, линейные преобразования модулей $D(M_i;R)$ индуцируют линейное преобразование модуля $D(M_1\times\dots\times M_n;R)$. Это обстоятельство позволяет получать разложения дискретных функций из класса получать разложения дискретных функций из класса $D(M_1\times\dots\times M_n;R)$ в различных базисах исходя из разложений функций от одного переменного. Дано определение полиномиального представления произвольной дискретной функции и установлено, что при слабых ограничениях на поле $P$ каждая функция из класса $D(M_1\times\dots\times M_n;U)$ может быть представлена многочленом из кольца $P[x^{(n)}]$, в котором степень вхождения переменной $x_i$ меньше $|M_i|$, $i=1,\dots,n$.
Полученные результаты позволяют применять методы решения систем полиномиальных уравнений к системам конечных дискретных уравнений произвольного вида.