Обобщенные матрицы Адамара и их приложения

В работе рассматриваются обычные матрицы Адамара $H$ размера $2^n\times2^n$. Эти матрицы представлены в виде произведений разреженных матриц, каждая из которых имеет в каждом столбце и каждой строке $2^l$, $1<l \le n$, ненулевых элементов. В частности, матрица Адамара представлена в виде произведения подстановочной матрицы и матрицы, которая является $n$-й степенью разреженной матрицы, имеющей в каждой строке и в каждом столбце ровно два ненулевых элемента из множества $\{\pm1\}$ (см. (13)). Это представление обобщает известные подобные разложения матрицы $H$ (см. [2], [5]).
В работе матрица $H$ трактуется как элемент конечной группы $\Sigma_{n,2}$ ортогональных матриц над полем действительных чисел, построенной в [1], [3], а представления $H$ в виде произведения – как равенства в $\Sigma_{n,2}$.
Разложение $H$ в произведение разреженных матриц используется в алгоритме “быстрого умножения вектора на матрицу Адамара” (в иной терминологии – в алгоритме быстрого корреляционного декодирования кода Рида–Маллера первого порядка), который имеет разнообразные применения (см., например, [8]).