АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
О $n$-кратной $\sigma$-локальности непустой $\tau$-замкнутой формации конечных групп
И. Н. Сафонова Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь
Аннотация:
Все рассматриваемые группы конечны. Пусть
$\sigma =\{\sigma_{i} \mid i\in I \}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел,
$G$ – группа, $\sigma (G)=\{\sigma_i\mid \sigma_i\cap \pi (G)\ne \varnothing\} $,
$\mathfrak F$ – класс групп и $\sigma (\mathfrak{F})=\bigcup\limits_{G\in \mathfrak{F}}\sigma (G).$
Функцию
$f$ вида
$f:\sigma \to\{\text{формации групп}\}$ называют формационной
$\sigma$-функцией. Для любой формационной
$\sigma$-функции
$f$ класс
$LF_{\sigma}(f)$ определяют следующим образом:
$
LF_{\sigma}(f)=
(G \mid G=1 \ \text{или }\ G\ne 1\ \text{и }G/O_{\sigma_i', \sigma_i}(G) \in f(\sigma_{i}) \ \text{ для всех } \sigma_i \in \sigma(G)).
$
Если для некоторой формационной
$\sigma$-функции
$f$ имеем
$\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ то класс
$\mathfrak{F}$ называют
$\sigma $-локальным, а
$\sigma$-функцию
$f$ называют
$\sigma$-локальным определением
$ \mathfrak{F}.$
Каждую формацию считают
$0$-кратно
$\sigma $-локальной. Для
$n \geqslant 1$ формацию
$\mathfrak{F}$ называют
$n$-кратно
$\sigma $-локальной, если либо
$\mathfrak{F}=(1)$ – классом всех единичных групп, либо
$\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ где
$f(\sigma_i)$ является
$(n-1)$-кратно
$\sigma$-локальной для всех
$\sigma_i\in \sigma (\mathfrak{F}).$
Пусть
$\tau(G)$ – такое множество подгрупп
$G$, что
$G\in \tau(G).$ Тогда
$\tau$ называют подгрупповым функтором, если для любого эпиморфизма
$\varphi$ : $A \to~B$ и любых групп
$H \in \tau(A)$ и
$T\in \tau(B)$ имеем
$H^{\varphi}\in\tau(B)$ и
$T^{{\varphi}^{-1}}\in\tau(A).$
Формацию
$\mathfrak{F}$ называют
$\tau$-замкнутой, если
$\tau(G)\subseteq\mathfrak{F}$ для всех
$G\in\mathfrak F.$
В работе получены необходимые и достаточные условия
$n$-кратной
$\sigma$-локальности
$(n\geqslant 1)$ непустой
$\tau$-замкнутой формации.
Ключевые слова:
конечная группа, формации, подгрупповой функтор,
$\sigma$-локальная формация,
$\tau$-замкнутая формация.
УДК:
512.542 Поступила в редакцию: 21.02.2024
Исправленный вариант: 14.06.2024
Принята в печать: 18.06.2024