О $n$-кратной $\sigma$-локальности непустой $\tau$-замкнутой формации конечных групп

Все рассматриваемые группы конечны. Пусть $\sigma =\{\sigma_{i} \mid i\in I \}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел, $G$ – группа, $\sigma (G)=\{\sigma_i\mid \sigma_i\cap \pi (G)\ne \varnothing\} $, $\mathfrak F$ – класс групп и $\sigma (\mathfrak{F})=\bigcup\limits_{G\in \mathfrak{F}}\sigma (G).$ Функцию $f$ вида $f:\sigma \to\{\text{формации групп}\}$ называют формационной $\sigma$-функцией. Для любой формационной $\sigma$-функции $f$ класс $LF_{\sigma}(f)$ определяют следующим образом: $ LF_{\sigma}(f)= (G \mid G=1 \ \text{или }\ G\ne 1\ \text{и }G/O_{\sigma_i', \sigma_i}(G) \in f(\sigma_{i}) \ \text{ для всех } \sigma_i \in \sigma(G)). $ Если для некоторой формационной $\sigma$-функции $f$ имеем $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ то класс $\mathfrak{F}$ называют $\sigma $-локальным, а $\sigma$-функцию $f$ называют $\sigma$-локальным определением $ \mathfrak{F}.$ Каждую формацию считают $0$-кратно $\sigma $-локальной. Для $n \geqslant 1$ формацию $\mathfrak{F}$ называют $n$-кратно $\sigma $-локальной, если либо $\mathfrak{F}=(1)$ – классом всех единичных групп, либо $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f),$ где $f(\sigma_i)$ является $(n-1)$-кратно $\sigma$-локальной для всех $\sigma_i\in \sigma (\mathfrak{F}).$ Пусть $\tau(G)$ – такое множество подгрупп $G$, что $G\in \tau(G).$ Тогда $\tau$ называют подгрупповым функтором, если для любого эпиморфизма $\varphi$ : $A \to~B$ и любых групп $H \in \tau(A)$ и $T\in \tau(B)$ имеем $H^{\varphi}\in\tau(B)$ и $T^{{\varphi}^{-1}}\in\tau(A).$ Формацию $\mathfrak{F}$ называют $\tau$-замкнутой, если $\tau(G)\subseteq\mathfrak{F}$ для всех $G\in\mathfrak F.$ В работе получены необходимые и достаточные условия $n$-кратной $\sigma$-локальности $(n\geqslant 1)$ непустой $\tau$-замкнутой формации.