Факторизация уравнения реакции-диффузии, волнового уравнения и других

В статье исследуются уравнения вида $D_{t}u = \Delta u + \xi\nabla u$ для неизвестной функции $u(t,x)$, $t\in\mathbb R$, $x\in X$, где $D_t u = a_0(u,t)+\sum_{k=1}^r a_k(t,u)\partial_t^k u$; $\Delta$ — оператор Лапласа–Бельтрами на римановом многообразии $X$; $\xi$ — гладкое векторное поле на $X$. А именно исследуются морфизмы из этого уравнения в рамках определенной ранее автором категории $\mathcal{PDE}$ дифференциальных уравнений в частных производных. Мы ограничиваемся морфизмами специального вида, так называемыми геометрическими морфизмами, задаваемыми отображениями $X$ в другие гладкие многообразия (той же или меньшей размерности).
Показано, что отображение $f\colon X\to Y$ задает морфизм из уравнения $D_{t}u = \Delta u + \xi\nabla u$ тогда и только тогда, когда для некоторых векторного поля $\Xi$ и метрики на $Y$ равенство $(\Delta+\xi\nabla)f^{\ast}v = f^{\ast}(\Delta + \Xi\nabla)v$ выполняется для любой гладкой функции $v\colon Y\to\mathbb R$. При этом фактор-уравнением будет $D_{t}v = \Delta v + \Xi\nabla v$ для неизвестной функции $v(t,y)$, $y\in Y$.
Также показано, что если отображение $f\colon X\to Y$ является локально тривиальным расслоением, то $f$ задает морфизм из уравнения $D_{t}u = \Delta u$ тогда и только тогда, когда слои $f$ параллельны и для любой кривой $\gamma$ на $Y$ коэффициент расширения слоя при переносе вдоль горизонтального поднятия $\gamma$ на $X$ зависит только от $\gamma$.