Аналитический метод вложения евклидовой и псевдоевклидовой геометрий

Как известно, $n$-мерная геометрия максимальной подвижности допускает группу движений размерности $n(n+1)/2$. Многие из таких геометрий хорошо известны, в частности, евклидова и псевдоевклидова геометрии. Такие геометрии являются феноменологически симметричными, т.е. для них метрические свойства эквивалентны групповым. В данной работе на примере евклидовой и псевдоевклидовой двумерных геометрий разрабатывается аналитический метод их вложения. Таким образом ищутся все возможные функции вида
$$ f = f((x_i-x_j)^2 \pm (y_i-y_j)^2,z_i,z_j), $$
где, например, $x_i,y_i,z_i$ - координаты точки $i$. Оказывается, что существуют только следующие вложения:
$$ f = (x_i-x_j)^2 \pm (y_i-y_j)^2 + (z_i-z_j)^2, $$

$$ f = [(x_i-x_j)^2 \pm (y_i-y_j)^2]\exp(2z_i+2z_j). $$
Заметим, что получены как хорошо известные трехмерные геометрии (евклидова и псевдоевклидова), так и малоизвестные (трехмерные особые расширения евклидовой и псевдоевклидовой двумерных геометрий). Установлено, что все эти геометрии допускают шестимерные группы движений. Для решения поставленной задачи по условию локальной инвариантности метрической функции записывается функциональное уравнение
$$ 2[(x_i-x_j)(X_1(i) - X_1(j)) + \epsilon(y_i-y_j)(X_2(i) - X_2(j))]\frac{\partial f}{\partial \theta} + X_3(i)\frac{\partial f}{\partial z_i} + X_3(j)\frac{\partial f}{\partial z_j} = 0, $$
все компоненты в котором - аналитические функции. Затем это уравнение разлагается в ряд Тейлора, после чего сравниваются коэффициенты разложения перед одинаковыми степенями произведений переменных. Пакет математических программ Maple 15 существенно упрощает задачу перебора коэффициентов. По полученным результатам записываются дифференциальные уравнения, интегрируя которые, находим решения сформулированной выше задачи вложения.