Оценка остаточного члена для асимптотического представления эллиптического синуса, содержащего три первых члена разложения

В статье предлагается простой способ нахождения асимптотического разложения эллиптического синуса $z=$sn$(u;k)$ по степеням $(k^2-1)$. В литературных источниках выписаны только первые два члена разложения. Предлагаемый метод позволяет найти последующие члены разложения. Недостатком метода является большой объем вычислений. Для остаточного члена $R(u,k)$ асимптотического представления, содержащего три первых члена разложения, верно предельное равенство
$$ \lim_{z\to 1} \lim_{k\to 1}R(u,k)\frac{(1-z)^2}{(1-k^2)^3}\not =0. $$
Основным результатом работы является оценка остаточного члена. Доказывается, что
$$ \vert R(u,k)\vert\leqslant {\rm const}\frac{1}{\cosh^2u} \frac{(1-k^2)^3}{(1-z)^3}. $$