Три экстремальные задачи в пространствах Харди и Бергмана аналитических функций в круге

Пусть $\gamma(\rho)$ — функция неотрицательная, измеримая, почти всюду отличная от нуля на $(0,1),$ у которой произведение $\rho\gamma(\rho)$ суммируемо на $(0,1)$. Обозначим через $\mathcal{B}=B^{p,q}_{\gamma}, \, 1\leq p\le \infty, \, 1\leq q < \infty,$ пространство аналитических в круге функций $f,$ для которых суммируема на $(0,1)$ функция $M_p^q(f,\rho)\rho\gamma(\rho),$ где $M_p^q(f,\rho)$ есть $p$-среднее значение $f$ на окружности радиуса $\rho;$ это пространство наделено нормой
$$ \|f\|_{B^{p,q}_{\gamma}}=\|M_p(f,\cdot)\|_{L^q_{\rho\gamma(\rho)}(0,1)}\,. $$
В случае $q=\infty$ пространство $\mathcal{B}=B^{p,\infty}_{\gamma}$ отождествляется с пространством Харди $H^p.$ С помощью оператора $L,$ заданного на аналитических в единичном круге функциях $f(z)=\sum_{k=0}^\infty c_k z^k$ равенством $Lf(z)=\sum_{k=0}^\infty l_k c_k z^k$, определим класс
$$ LB_\gamma^{p,q}(N):=\{f\colon \|Lf\|_{B_\gamma^{p,q}}\le N\},\quad N>0. $$
Для пары таких операторов $L$ и $G$ при некоторых ограничениях исследованы три экстремальные задачи.
(1) Найдено наилучшее приближение класса $LB_\gamma^{p_1,q_1}(1)$ классом $GB_\gamma^{p_3,q_3}(N)$ по норме пространства $B_\gamma^{p_2,q_2}$ при $2\le p_{1}\le\infty,$ $1\leq p_{2}\leq 2,$ $1\leq p_{3}\leq 2,$ $1\le q_1=q_2=q_3\le\infty$ и $q_s=2$ или $\infty.$
(2) Найдено наилучшее приближение оператора $L$ множеством $\mathcal{L}(N),\, N>0, $ линейных ограниченных операторов из $B_\gamma^{p_1,q_1}$ в $B_\gamma^{p_2,q_2}$ c нормой, не превосходящей $N,$ на классе $GB_\gamma^{p_3,q_3}(1)$ при $2\le p_{1}\le\infty,$ $1\leq p_{2}\leq 2,$ $2\leq p_{3}\leq \infty,$ $1\le q_1=q_2=q_3\le\infty$ и $q_s=2$ или $\infty.$
(3) Получены оценки модуля непрерывности оператора $L$ на классе $GB_\gamma^{p_3,q_3}(1),$ а в гильбертовом случае — его точное значение.