Аннотация:
Работа посвящена изучению смешанной задачи для уравнения агрегации с
анизотропной вырождающейся диффузией. Единственность решения
доказана методом энергетических оценок. При этом строится
специальная пробная функция как решение вспомогательной
эллиптической задачи. Предварительно изучается задача с гладкими
данными, в которой нелокальный член со сверткой заменяется гладким
вектором. Для нее устанавливаются неотрицательность решения и оценка
сверху роста решения. Существование решения сначала доказывается
для невырожденного уравнения комбинированием методов итераций и
сжимающих отображений. Затем осуществляется предельный переход от
решений $u_{\varepsilon}$ приближающего уравнения к решению
предельной вырожденной задачи. При этом используется принцип
компактности в $L_1,$ близкий к разработанному в известной работе
Альта и Лукхауса. Исследуемые в статье уравнения возникают в моделях
биологической агрегации.
Ключевые слова:уравнение агрегации, анизотропная диффузия, существование решения, единственность решения.