О коммутантах конечных $2$-групп, порожденных инволюциями

Для конечной группы $G$ минимальное число порождающих обозначается через $d(G)$. Под $G'$ мы понимаем коммутант группы $G$. А. Д. Устюжанинов в 1975 г. опубликовал без доказательства список конечных $2$-групп, порожденных тремя инволюциями, с элементарным абелевым коммутантом. В частности, $d(G') \leq 5$ для такой группы $G$. В продолжение этой темы интересно классифицировать все конечные $2$-группы, порожденные $n$ инволюциями (для любого $n \geq 2$), с элементарным абелевым коммутантом. В статье доказывается, что если конечная $2$-группа $G$ порождается $n$ инволюциями и $d(G)=n$, то
$$d(G') \leq \left(
\begin{array}[c]{c}n\\2\\\end{array}
\right) + 2 \left(
\begin{array}[c]{c}n\\3\\\end{array}
\right) + \dots + (n-1) \left(
\begin{array}[c]{c}n\\n\\\end{array}
\right),$$
для любого $n \geq 2$, причем верхняя граница достигается. Кроме того, для любого $n \geq 2$ строится конечная $2$-группа, порожденная $n$ инволюциями с элементарным абелевым коммутантом ранга
$$\left(
\begin{array}[c]{c}n\\2\\\end{array}
\right) + 2 \left(
\begin{array}[c]{c}n\\3\\\end{array}
\right) + \dots + (n-1) \left(
\begin{array}[c]{c}n\\n\\\end{array}
\right).$$
Метод построения этой группы аналогичен методу, используемому автором в ряде работ для построения конечных групп Альперина. Мы получим нашу группу как последовательное полупрямое произведение групп порядка $2$. Приводится также пример бесконечной $2$-группы, порожденной инволюциями, с бесконечным элементарным абелевым коммутантом, полученным из построенных конечных $2$-групп.