Квазоиды в теории узлов

Статья посвящена определению и построению примеров квазоидов — алгебраических объектов, каждый из которых порождает инвариант ориентированных узлов и зацеплений. Этот инвариант может быть выражен в терминах числа правильных раскрасок областей, на которые диаграмма узла разбивает двумерную сферу. Правильность раскраски элементами множества $X$ означает, что в окрестности каждой двойной точки диаграммы цвета всех четырёх областей согласованы посредством функции $Q\colon X\times X\times X\to X$. Такая функция $Q$ называется квазоидом над множеством $X$. В статье строятся примеры двух бесконечных серий квазоидов. Первую серию образуют линейные квазоиды над конечными кольцами. Вторая серия состоит из квазоидов, порожденных конечными биквазилями. Инварианты узлов и зацеплений, порождаемые квазоидами, нетривиальны и могут быть использованы для различения узлов. В статье показывается, что все узлы и зацепления, допускающие диаграммы с не более, чем шестью двойными точками, различаются линейными квазоидами над $\mathbb{Z}_n$, где $n\leqslant 11$. Приводятся результаты компьютерного перебора всех различных квазоидов над множествами, мощность которых не превосходит $4$.