О теоремах Оикавы и Аракавы для графов

Настоящая статья посвящена дальнейшему развитию дискретной теории римановых поверхностей, начатой в начале века в работах М. Бейкера и С. Норина и их последователей. Аналогами римановых поверхностей в этой теории выступают конечные графы, а роль голоморфных отображений играют их разветвленные накрытия. Родом графа назовем ранг его фундаментальной группы. Главным объектом исследования статьи являются группы автоморфизмов графов, действующие без неподвижных точек на множестве полуребер графа. Они представляют из себя дискретные аналоги групп конформных автоморфизмов римановой поверхности. Знаменитая теорема Гурвица (1893) утверждает, что компактная риманова поверхность рода $g>1$ не может иметь более чем $84(g-1)$ автоморфизмов. Полученные позже теоремы К. Оикавы и Т. Аракавы уточняют эту оценку для групп, оставляющих инвариантными несколько конечных подмножеств заданной мощности. Основное содержание этой публикации состоит в доказательстве дискретных версий указанных теорем. Получен также дискретный аналог теоремы Э. Буханансе и Г. Громадски, улучшающей один из результов Аракавы.