О дендритах, заданных системами полиэдров, и их точках ветвления

В статье изучаются методы задания и геометрические свойства самоподобных дендритов в пространстве $\mathbb R^d$ — вопросы, еще не разработанные в теории самоподобных фракталов. Для этого строится и исследуется класс $P$-полиэдральных дендритов в $\mathbb R^d$. Такие дендриты $K$ мы определяем как аттракторы систем $S = \{S_1, \ldots, S_m\}$ сжимающих подобий в $\mathbb R^d$, переводящих заданный полиэдр $P\subset \mathbb R^d $ в полиэдры $P_i\subset P$, попарные пересечения которых либо пусты, либо одноточечны и являются общими вершинами этих полиэдров, а гиперграф попарных пересечений полиэдров $P_i$ ацикличен. Мы доказываем, что для счетного плотного в $K$ множества $G_S(V_P)$ локальная структура окрестности всякой его точки $x$ задается некоторым набором непересекающихся телесных углов с вершиной в $x$, конгруэнтных углам при вершинах $P$. Из этого утверждения мы получаем, что все точки ветвления $P$-полиэдрального дендрита $K$ имеют конечный порядок, верхняя оценка которого зависит только от полиэдра $P$. Нами доказано, что геометрия и размерность множества $CP(K)$ разбивающих точек дендрита $K$ определяются его главным деревом — минимальным подконтинуумом в $K$, содержащим все вершины $P$, а потому размерность $\dim_HCP(K)$ множества $CP(K)$ меньше размерности $\dim_H(K)$ дендрита $K$ и совпадает с последней тогда и только тогда, когда $K$ — жорданова дуга.