Оценка остаточного члена эллиптического синуса
А. А. Соловьев,
С. В. Репьевский Челябинский государственный университет
Аннотация:
Основным результатом работы является весовая оценка остаточного члена
$U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}$ разложения эллиптического синуса
$z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ по степеням
$k^2-1$ в промежутке
$[0,1)$. Доказывается, что
\begin{equation*} \vert {(\cosh v})^2 U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}\vert\leqslant {\rm ~ const}\frac{(1-k^2)^{n+1}}{(1-z)^{n+1}}\,\, (z\in [0,1),\,k\in [0,1)), \end{equation*}
где
$ {\rm const}$ не зависит от
$z$ и
$k$. Одновременно предлагается алгоритм нахождения членов асимптотического разложения эллиптического синуса. Формально коэффициенты разложения функции
$z={\mathrm sn}(v;k^2)$ в ряд по степеням
$k^2-1$ могут быть получены по следующей схеме. Рассматривается эллиптический интеграл Лежандра I рода в форме Якоби
$v=u(z,k^2)\,\, ~(z\in [0,1),\,k\in [0,1))$ и вводится вспомогательная функция
$v^{(0)}=u(z,1)$. На первом шаге функция
$z=\tanh v^{(0)}$ разлагается в ряд по степеням
$v-v^{(0)}$. Затем разность
$v-v^{(0)}= u(z,k^2)-u(z,1)$ представляется рядом Тейлора по степеням
$k^2-1$ и подставляется в разложение функции
$z=\tanh v^{(0)}$. В коэффициентах разложения при степенях
$k^2-1$ переменная
$z$ заменяется на
$\tanh v^{(0)}$, которая разлагается по степеням
$v-v^{(0)}$. Далее, шаги повторяются. Эта процедура позволяет находить все коэффициенты асимптотического разложения эллиптического синуса
$z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ при
$k\to 1$, но связана она с большими вычислительными трудностями. Предложенный же в работе алгоритм основан на выделении слагаемых в разложении, вносящих вклад в остаточный член, и оценки таких слагаемых.
Ключевые слова:
эллиптический синус, асимптотическое разложение, гиперболические функции.
УДК:
517.583
MSC: 33E05,
41A80 Поступила в редакцию: 10.01.2018
DOI:
10.21538/0134-4889-2018-24-2-256-265