Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных

Рассматривается задача оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества для одной линейной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими ограничениями на управление
$$ \begin{cases}\dot{x}_{\varepsilon} = A_{11}x_{\varepsilon}+A_{12}y_{\varepsilon}+B_{1}u, & t\in[0,T], \quad \|u\|\leqslant 1,\\ \varepsilon\dot{y}_{\varepsilon} = A_{22}y_{\varepsilon}+B_{2}u, & x_{\varepsilon}(0)=x^{0}, \quad y_{\varepsilon}(0)=y^{0},\\ J(u)\mathop{:=}\varphi(x_{\varepsilon}(T)) + \displaystyle\int_{0}^{T}\, \|u(t)\|^2\,dt\rightarrow \min, \end{cases}$$
где $x\in\mathbb{R}^{n}$, $y\in\mathbb{R}^{m}$, $ u\in\mathbb{R}^{r}$; $A_{ij}$, $B_{i}$, $i,j=1,2$, - постоянные матрицы соответствующей размерности, а $\varphi(\cdot)$ - непрерывно дифференцируемая на $\mathbb{R}^{n}$ строго выпуклая и кофинитная функция в смысле выпуклого анализа. В общем случае для такой задачи принцип максимума Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности, и существует единственный вектор $l_\varepsilon$, определяющий оптимальное управление по формуле
$$u_\varepsilon(T-t)=\frac{C_\varepsilon^{*}(t)l_\varepsilon} {S\left(\|C_\varepsilon^{*}(t)l_\varepsilon\|\right)}, $$
где
$$C_\varepsilon(t)\mathop{:=} e^{\mathcal{A}_\varepsilon~t} \mathcal{B}_\varepsilon=e^{A_{11}t} B_1 + \varepsilon^{-1}\mathcal{W}_\varepsilon(t)B_2, \qquad S(\xi)\mathop{:=} \begin{cases} 2, & 0\leqslant \xi\leqslant2,\\[1ex] \xi, & \xi>2. \end{cases}.$$
Основное отличие статьи от предыдущих работ автора заключается в том, что терминальная часть функционала качества зависит только от медленных переменных, а управляемая система имеет более общий вид. Доказано, что в случае конечного числа точек смены вида управления можно построить асимптотику начального вектора сопряженного состояния $l_\varepsilon$, который определяет вид оптимального управления. Показано, что асимптотика имеет степенной характер.