Константы Никольского - Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального типа на оси

Мы изучаем весовой вариант неравенства Никольского - Бернштейна
$$ \|\Lambda_{\alpha}^{k}f\|_{q,\alpha}\le \mathcal{L}(\alpha,p,q,k)\sigma^{(2\alpha+2)(1/p-1/q)+k}\|f\|_{p,\alpha},\quad \alpha\ge -1/2, $$
на подпространстве $\mathcal{E}^{\sigma}\cap L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$ целых функций экспоненциального типа. Здесь $\Lambda_{\alpha}$- дифференциально-разностный оператор Данкля, вторая степень которого порождает дифференциально-разностный оператор Бесселя $B_{\alpha}$. При $(p,q)=(1,\infty)$ мы находим точные константы для неотрицательных функций
$$ \mathcal{L}_{0}^{*}(\alpha)_{+}=\frac{1}{2^{2\alpha+2}},\quad \mathcal{L}_{1}^{*}(\alpha)_{+}=\frac{1}{2^{2\alpha+4}(\alpha+2)}, $$
где $\mathcal{L}_{r}^{*}(\alpha)_{+}= (\alpha+1)c_{\alpha}^{-2}\mathcal{L}(\alpha,1,\infty,2r)_{+}$ - нормализованная константа Никольского - Бернштейна. Единственными (с точностью до констант) экстремальными функциями являются соответственно функции $j_{\alpha+1}^{2}(x/2)$ и $x^{2}j_{\alpha+2}^{2}(x/2)$. Для доказательства этих результатов мы применяем квадратурную формулу Маркова с узлами в нулях функции Бесселя, а также следующее обобщение недавнего результата В.В. Арестова, А.Г. Бабенко, М.В. Дейкаловой и A.Хорват:
$$ \mathcal{L}(\alpha,p,\infty,2r)=\sup B_{\alpha}^{r}f(0),\quad r\in \mathbb{Z}_{+}, $$
где верхняя грань берется по всем четным действительным функциям на $\mathbb{R}$, принадлежащим $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$. Наш подход основывается на одномерном гармоническом анализе Данкля. В частности, применяется четный положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T_{\alpha}^{t}$, который ограничен в $L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой $1$, инвариантен на подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$ и коммутативен с $B_{\alpha}$.