Эта публикация цитируется в
1 статье
Сходимость тригонометрических рядов Фурье функций с ограничением на фрактальность их графиков
М. Л. Гриднев Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Аннотация:
Для непрерывной на отрезке функции
$f$ вводится понятие модуля фрактальности
$\nu(f,\varepsilon)$ как функции, которая каждому
$\varepsilon>0$ сопоставляет минимальное число квадратов размера
$\varepsilon$, которыми можно покрыть график функции
$f$. В терминах модуля фрактальности и модуля непрерывности
$\omega(f,\delta)$ получено условие равномерной сходимости ряда Фурье функции
$f$: если
$$ \omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 ~~~ \text{при}~ n\longrightarrow +\infty, $$
то ряд Фурье функции
$f$ сходится равномерно. Это условие уточняет известный признак сходимости Дини-Липшица. Кроме того, получена равномерная по
$x\in[0,2\pi]$ оценка порядка роста сумм Фурье
$S_n(f,x)$ непрерывной функции
$f$:
$$ S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg). $$
Показано, что эта оценка является неулучшаемой.
Ключевые слова:
тригонометрический ряд Фурье, равномерная сходимость, фрактальная размерность.
УДК:
517.518.45
MSC: 42A20 Поступила в редакцию: 31.08.2018
Исправленный вариант: 28.10.2018
Принята в печать: 05.11.2018
DOI:
10.21538/0134-4889-2018-24-4-104-109