О равносильности некоторых соотношений в разных метриках между нормами, наилучшими приближениями и модулями гладкости периодических функций и их производных

В статье предлагается метод, который позволяет, в частности, установить равносильность известных оценок сверху $L_{q}(\mathbb T)$-нормы $\|f^{(r)}\|_{q}$, величины наилучшего приближения $E_{n-1}(f^{(r)})_{q} $ и модуля гладкости $k$-го порядка $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{q}$ посредством элементов последовательности $\big\{E_{n-1}(f)_{p}\big\}_{n=1}^{\infty}$ наилучших приближений $2\pi$-периодической функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1$, $n\in \mathbb N$, где $r\in \mathbb Z_{+}\ (f^{(0)}=f),\ 1 < p < q < \infty,\ ~\mathbb T=(-\pi,\pi]$. Основным результатом работы является следующее утверждение: пусть $1 < p < q < \infty,\ r\in \mathbb Z_{+}$, $k\in \mathbb N,\ \sigma=r+1/p-1/q,\ f\in L_{p}(\mathbb T)$ и $E(f;p;\sigma;q) \equiv \Big(\sum_{\nu=1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q} < \infty$; тогда неравенства (a) $\|f^{(r)}\|_{q} \le C_{1}(r,p,q)\big\{(1-\chi(r))\|f\|_{p}+E(f;p;\sigma;q)\big\}$; (b) $E_{n-1}(f^{(r)})_{q} \le C_{2}(r,p,q)\Big\{n^{\sigma}E_{n-1}(f)_{p}+\Big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q} \Big\},\ n\in \mathbb N$; (c) $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{q} \le C_{3}(k,r,p,q)\Big\{ \Big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q}+n^{-k} \Big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{q(k+\sigma)-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q}\Big\}$, $n\in \mathbb N$, являются равносильными в том смысле, что выполнение любого из этих неравенств влечет выполнение двух других. Неравенства (a), (b) и (c) могут быть установлены привлечением лишь одной ключевой оценки
$$ \big\| S_{m}^{(l)}(f;\cdot)\big\|_{q} \le C_{4}(l,p,q)\Big\{(1-\chi(l))\|f\|_{p}+\Big(\sum_{\nu=1}^{m}\nu^{q\lambda-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p}\Big)^{1/q} \Big\},\ ~m\in \mathbb N, ~$$
где $S_{m}(f;x)$ - частная сумма порядка $m\in \mathbb N$ ряда Фурье функции $f\in L_{p}(\mathbb T),\ l\in \mathbb Z_{+}$, $\lambda =l+1/p-1/q$, $\chi(t)=0$ при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$, $t\in \mathbb R$. Выполнение последней оценки в случае $l=r$ и $\lambda=\sigma$ необходимо и достаточно для справедливости неравенства (a) при условии $E(f;p;\sigma;q) < \infty$, гарантирующем принадлежность $f\in L_{q}^{(r)}(\mathbb T)$, где $L_q^{(r)}(\mathbb T)$ - класс функций $f\in L_{q}(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $(r-1)$-го порядка, и $f^{(r)} \in L_{q}(\mathbb T)$. Для неравенств (b) и (c) также имеют место необходимые и достаточные условия их справедливости в терминах поведения элементов последовательности $\{\|S_{m}^{(l)}(f;\cdot)\|_{q}\}_{m=1}^{\infty}$.