Свойства интегрируемости функций с заданным поведением функций распределения и некоторые приложения

Установлено, что если функция распределения измеримой функции $v$, заданной на ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), при достаточно больших $k$ удовлетворяет оценке ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant k^{-\alpha}\varphi(k)/\psi(k)$, где $\alpha>0$, $\varphi\colon[1,+\infty)\to\mathbb R$ - неотрицательная невозрастающая измеримая функция такая, что интеграл функции $s\to\varphi(s)/s$ по $[1,+\infty)$ конечен, и $\psi\colon[0,+\infty)\to\mathbb R$ - положительная непрерывная функция с некоторыми дополнительными свойствами, то $\vert v\vert^\alpha\psi(\vert v\vert)\in L^1(\Omega)$. При этом функция $\psi$ может быть как ограниченной, так и неограниченной. Даны следствия соответствующих теорем для некоторых конкретных отношений функций $\varphi$ и $\psi$. В частности, рассмотрен случай, когда функция распределения измеримой функции $v$ при достаточно больших $k$ удовлетворяет оценке ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant Ck^{-\alpha}(\ln k)^{-\beta}$, где $C,\alpha>0$ и $\beta\geqslant 0$. При этом усилен результат, полученный автором ранее для $\beta>1$, и в целом показано, как отличаются свойства интегрируемости функции $v$ в зависимости от того, какому из промежутков, $[0,1]$ или $(1,+\infty)$, принадлежит $\beta$. Рассмотрен также случай, когда функция распределения измеримой функции $v$ при достаточно больших $k$ удовлетворяет оценке ${\rm meas}\{\vert v\vert>k\}\leqslant Ck^{-\alpha}(\ln\ln k)^{-\beta}$, где $C,\alpha>0$ и $\beta\geqslant 0$. Приведены примеры, показывающие точность полученных результатов в соответствующих шкалах классов, близких к $L^\alpha(\Omega)$. Наконец, даны приложения этих результатов к энтропийным и слабым решениям задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью из некоторых классов, близких к $L^1(\Omega)$ и определяемых с помощью логарифмической функции или ее двукратной композиции.