Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений

Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых начально-краевых задач (УНКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений вида
$$z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right), \quad t\equiv \mathrm{col}\{t^{1},\ldots,t^{n}\} \in \Pi\subset{\mathbb R}^n, z\in L_p^m\left( \Pi \right), $$
где $\Pi$ - заданное ограниченное множество, $f(.,.,.):\Pi \times {\mathbb R}^l\times~{\mathbb R}^s\rightarrow {\mathbb R}^m;$ $v(.)\in {\mathcal D}\subset~L_k^s$ - управление; $ A:L_p^m\left( \Pi \right)\rightarrow L_q^l\left( \Pi \right)$ - линейный оператор, вольтерров на некоторой системе $T$ подмножеств $\Pi $ в том смысле, что для любого $H\in T$ сужение $\left. A\left[ z\right]\right| _H$ не зависит от значений $z| _{\Pi\backslash H}$; $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right] $. Это определение вольтерровости - многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям обращением главной части приводятся самые различные УНКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Такое описание УНКЗ адекватно многим проблемам теории оптимального управления распределенными системами. В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения достаточных условий устойчивости (при возмущении управления) существования глобальных решений УНКЗ. Схема использует продолжение локальных решений функционального уравнения (т. е. решений на множествах $H\in T$)  вдоль упорядоченной по вложению конечной цепочки множеств $\{H_{1}\subset H_{2}\subset\ldots\subset H_{k-1}\subset~H_{k}\equiv\Pi\}$ системы $T.$ При этом используется опирающаяся на принцип сжимающих отображений специальная теорема существования локальных решений. В случае $p=q=k=\infty$ при естественных предположениях возможность применения этого принципа обеспечивается тем, что оператор правой части $\Phi_{v}[z\left(.\right)]\left(t\right)\equiv f\left(t,A[z](t),v(t)\right)$ удовлетворяет операторному условию Липшица с квазинильпотентным “оператором Липшица”. Это позволяет, пользуясь хорошо известными результатами функционального анализа, ввести в пространстве $L_{\infty}^{m}(H)$ такую эквивалентную обычной норму, в которой оператор правой части будет сжимающим. В общем случае $1\leq p,q,k \leq \infty$, охватывающем существенно более широкий круг УНКЗ, оператор правой части подобному операторному условию Липшица, вообще говоря, не удовлетворяет. В этом случае введение требуемой для применения принципа сжимающих отображений эквивалентной нормы пространства $L_p^m(H)$ обеспечивает доказываемая в статье \it{теорема об эквивалентной норме}. Теорема опирается на понятие \it{суперравностепенной квазинильпотентности} семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве. Доказывается конструктивный общий признак суперравностепенной квазинильпотентности семейства операторов, действующих в банаховом идеальном пространстве измеримых функций. Получены удобные для приложений достаточные условия суперравностепенной квазинильпотентности в случае лебеговых пространств.