О точности неравенства разных метрик для тригонометрических полиномов в обобщенном пространстве Лоренца

В статье рассматривается обобщенное пространство Лоренца $L_{\psi, \tau}(\mathbb{T}^{m})$, определенное по некоторой непрерывной, вогнутой функции $\psi$, $\psi (0)=0$. Для двух пространств $L_{\psi_{1}, \tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ и $L_{\psi_{2}, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ при условии $\alpha_{\psi_{1}}={\underline\lim}_{t\rightarrow 0}\psi_{1}(2t)/\psi_{1}(t) = \beta_{\psi_{2}} = \overline{\lim}_{t\rightarrow 0}\psi_{2}(2t)/\psi_{2}(t)$ доказано точное по порядку неравенство разных метрик для кратных тригонометрических полиномов. Кроме того доказано одно вспомогательное утверждение для функции одной переменной с монотонно убывающими коэффициентами Фурье по тригонометрической системе. В этом утверждении установлена двусторонняя оценка нормы функции $f\in L_{\psi, \tau}(\mathbb{T})$ через сумму ряда составленного из коэффициентов Фурье этой функции.