Эта публикация цитируется в
7 статьях
Константы Никольского - Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах
Д. В. Горбачев,
В. И. Иванов Тульский государственный университет
Аннотация:
Мы изучаем точную константу в неравенстве Никольского — Бернштейна
$\|Df\|_{q}\le C\|f\|_{p}$ на подпространстве целых функций
$f$ экспоненциального сферического
типа в пространстве
$L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ с весом
$v_{\kappa}$ степенного
типа. В качестве дифференциального оператора
$D$ рассматривается
неотрицательная целая степень лапласиана Данкля
$\Delta_{\kappa}$,
ассоциированного с весом
$v_{\kappa}$. Этим также охватывается одномерный
случай пространства
$L^{p}(\mathbb{R}_{+})$ со степенным весом
$t^{2\alpha+1}$
и дифференциальным оператором Бесселя. Наш основной результат заключается в
доказательстве равенства между многомерной и одномерной весовыми константами
при
$1\le p\le q=\infty$. Для этого мы показываем, что норма
$\|Df\|_{\infty}$
может быть заменена значением
$Df(0)$, что было известно только в одномерном
случае. Необходимое отображение подпространства функций, по сути сводящее
задачу к радиальной, а значит, одномерной, осуществляется при помощи
положительного оператора обобщенного сдвига Данкля
$T_{\kappa}^{t}$. Мы
доказываем его новое свойство аналитического продолжения по переменной
$t$. Как
следствие мы вычисляем весовую константу Бернштейна при
$p=q=\infty$, которая
была известна в исключительных случаях. Также мы приводим некоторые оценки
констант и даем небольшой список открытых проблем.
Ключевые слова:
неравенство Никольского — Бернштейна, точная константа, целая функция экспоненциального сферического типа, вес степенного типа, лапласиан Данкля.
УДК:
517.5
MSC: 41A17,
42B10 Поступила в редакцию: 08.04.2019
DOI:
10.21538/0134-4889-2019-25-2-75-87