Описание линейного эффекта Перрона при параметрических возмущениях, экспоненциально убывающих к нулю на бесконечности

Пусть ${\mathcal M}_n$ — множество линейных дифференциальных систем порядка $n$ с непрерывными и ограниченными на временно́й полуоси $\mathbb{R}_+$ коэффициентами, $n\geqslant 2.$ Показатели Ляпунова системы $A\in {\mathcal M}_n$ обозначаются через $\lambda_1(A)\leqslant\ldots\leqslant \lambda_n(A),$ их спектр — через $\Lambda(A)=(\lambda_1(A),\ldots,\lambda_n(A))$ и ее индекс экспоненциальной устойчивости (размерность линейного подпространства решений с отрицательными характеристическими показателями) — через $\mathrm{es}(A)$. Для системы $A\in {\mathcal M}_n$ и метрического пространства $M$ рассматривается класс ${\mathcal E}_n[A](M)$ непрерывных по совокупности переменных $(n\times n)$-матричнозначных функций $Q\colon \mathbb{R}_+\times M\to \mathbb{R}^{n\times n},$ удовлетворяющих оценке $\|Q(t,\mu)\|\leqslant C_Q\exp(-\sigma_Qt)$ для всех $(t,\mu)\in\mathbb{R}_+\times M,$ где $C_Q$ и $\sigma_Q$ — положительные постоянные (свои для каждой функции $Q$), и таких, что показатели Ляпунова системы $A+Q,$ являющиеся функциями $\mu\in M$ и обозначаемые через $\lambda_1(\mu;A+Q)\leqslant\ldots\leqslant \lambda_n(\mu;A+Q),$ не меньше соответствующих показателей Ляпунова системы $A,$ т. е. $\lambda_k(\mu;A+Q)\geqslant \lambda_k(A),$ $k=\overline{1,n},$ для любого $\mu\in M.$ Ставится задача полного описания для каждых $n\in\mathbb{N}$ и метрического пространства $M$ класса пар $\bigl(\Lambda(A),\Lambda(\cdot\,;A+Q)\bigr),$ составленных из спектра $\Lambda(A)\in\mathbb{R}^n$ системы $A\in {\mathcal M}_n$ и из спектра $\Lambda(\cdot\,;A+Q)\colon M\to \mathbb{R}^n$ семейства $A+Q,$ когда $A$ пробегает множество ${\mathcal M}_n,$ а матричнозначная функция $Q$ при каждом $A$ — класс ${\mathcal E}_n[A](M),$ т. е. класса $\Pi {\mathcal E}_n(M)=\{\bigl(\Lambda(A),\Lambda(\cdot\,;A+Q)\bigr)\,\vert\, A\in {\mathcal M}_{n},\,Q\in {\mathcal E}_n[A](M)\}.$ Решение задачи дает следующее утверждение: для любых натурального $n\geqslant 2$ и метрического пространства $M$ пара $\bigl(l,F(\cdot)\bigr),$ где $l=(l_1,\ldots,l_n)\in\mathbb{R}^n$ и $F(\cdot)=(f_1(\cdot),\ldots,f_n(\cdot))\colon M\to \mathbb{R}^n,$ тогда и только тогда принадлежит классу $\Pi {\mathcal E}_n(M),$ когда выполняются четыре условия: 1) $l_1\leqslant \ldots \leqslant l_n,$ 2) $f_1(\mu)\leqslant \ldots \leqslant f_n(\mu)$ для любого $\mu\in M,$ 3) $f_i(\mu)\geqslant l_i$ для всех $i=\overline{1,n}$ и $\mu\in M,$ 4) для любого $i=\overline{1,n}$ функция $f_i(\cdot)\colon M\to \mathbb{R}$ ограничена, и при каждом $r\in\mathbb{R}$ прообраз $f_i^{-1}([r,+\infty))$ полуинтервала $[r,+\infty)$ является $G_{\delta}$-множеством. Решение аналогичной задачи описания пар, составленных из индекса $\mathrm{es}(A)\in \{0,\ldots,n\}$ экспоненциальной устойчивости системы $A$ и из индекса $\mathrm{es}(\cdot\,;A+Q)\colon M\to \{0,\ldots,n\}$ экспоненциальной устойчивости семейства $A+Q,$ т. е. класса ${\mathcal I}{\mathcal E}_n(M)=\{\bigl(\mathrm{es}(A),\mathrm{es}(\cdot\,;A+Q)\bigr)\,\vert\, A\in {\mathcal M}_{n},\,Q\in {\mathcal E}_n[A](M)\}$, описывается утверждением: для любых натурального $n\geqslant 2$ и метрического пространства $M$ пара $\bigl(d,f(\cdot)\bigr),$ где $d\in\{0,\ldots,n\}$ и $f\colon M\to\{0,\ldots,n\}$, принадлежит классу ${\mathcal I}{\mathcal E}_n(M)$ тогда и только тогда, когда $f(\mu)\leqslant d$ для любого $\mu\in M$ и при каждом $r\in\mathbb{R}$ прообраз $f^{-1}((-\infty,r])$ полуинтервала $(-\infty,r]$ является $G_{\delta}$-множеством.