Обратные задачи в теории дистанционно регулярных графов: двойственные 2-схемы

Пусть $\Gamma$ — дистанционно регулярный граф диаметра 3 с сильно регулярным графом $\Gamma_3$. Нахождение параметров графа $\Gamma_3$ по массиву пересечений графа $\Gamma$ является прямой задачей. Нахождение массива пересечений графа $\Gamma$ по параметрам графа $\Gamma_3$ является обратной задачей. Прямая и обратная задачи были решены А. А. Махневым и М. С. Нировой: если граф $\Gamma$ с массивом пересечений $\{k,b_1,b_2;1,c_2,c_3\}$ имеет собственное значение $\theta_2=-1$, то дополнительный граф к $\Gamma_3$ является псевдогеометрическим для $pG_{c_3}(k,b_1/c_2)$. Обратно, если $\Gamma_3$ является псевдогеометрическим графом для $pG_{\alpha}(k,t)$, то $\Gamma$ имеет массив пересечений $\{k,c_2t,k-\alpha+1;1,c_2,\alpha\}$, где $k-\alpha+1\le c_2t<k$, $1\le c_2\le \alpha$. Ранее изучались дистанционно регулярные графы $\Gamma$ диаметра 3, для которых граф $\Gamma_3$ ($\bar \Gamma_3$) является псевдогеометрическим графом для сети или обобщенного четырехугольника. В данной работе изучаются массивы пересечений дистанционно регулярных графов $\Gamma$ диаметра 3, для которых граф $\Gamma_3$ ($\bar \Gamma_3$) является псевдогеометрическим графом для двойственной 2-схемы $pG_{t+1}(l,t)$. Найдены новые серии допустимых массивов пересечений: $\{m(m^2-1),m^2(m-1),m^2;1,1,(m^2-1)(m-1)\}$, $\{m(m+1),(m+2)(m-1),m+2;1,1,m^2-1\}$, $\{2m(m-1),(2m-1)(m-1),2m-1;1,1,2(m-1)^2\}$, где $m\equiv\ \pm 1\ ({\rm mod}\ 3)$. Известные серии 2-схем Штейнера — это унитали, схемы, отвечающие проективным плоскостям четного порядка, содержащим гиперовал, схемы точек и прямых проективного пространства $PG(n,q)$ и схемы точек и прямых аффинного пространства $AG(n,q)$. Найдены допустимые массивы пересечений дистанционно регулярных графов $\Gamma$ диаметра 3, для которых граф $\Gamma_3$ ($\bar \Gamma_3$) является псевдогеометрическим графом для одной из известных 2-схем Штейнера.