Эта публикация цитируется в
3 статьях
О распознаваемости спорадических простых групп $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$ и $Co_3$ по графу Грюнберга - Кегеля
А. С. Кондратьев Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Аннотация:
Графом Грюнберга — Кегеля (графом простых чисел)
$\Gamma(G)$ конечной группы
$G$ называется граф, в котором вершинами
служат простые делители порядка группы
$G$ и две различные вершины
$p$ и
$q$ смежны тогда и только тогда, когда
$G$
содержит элемент порядка
$pq$. В теории конечных групп активно развиваются исследования распознаваемости
конечных групп по графу Грюнберга — Кегеля. Для конечной группы
$G$ через
$h_{\Gamma}(G)$ обозначается число всех
попарно не изоморфных конечных групп
$H$ таких, что
$\Gamma(H)=\Gamma(G)$ (если множество таких групп
$H$ бесконечно, то
пишем
$h_{\Gamma}(G)=\infty$). Группа
$G$ называется
$n$-распознаваемой по графу Грюнберга — Кегеля, если
$h_{\Gamma}(G)=n<\infty$, распознаваемой по графу Грюнберга — Кегеля, если
$h_{\Gamma}(G)=1$, и нераспознаваемой по
графу Грюнберга — Кегеля, если
$h_{\Gamma}(G)=\infty$. Говорят, что проблема распознаваемости по графу
Грюнберга — Кегеля решена для конечной группы
$G$, если найдено значение
$h_{\Gamma}(G)$. Для нераспознаваемой по
графу Грюнберга — Кегеля конечной группы
$G$ интересен также вопрос о (нормальном) строении конечных групп с таким
же графом Грюнберга — Кегеля, как у
$G$. В 2003 г. M. Хаги исследовала строение конечных групп, граф Грюнберга — Кегеля
которых равен графу Грюнберга — Кегеля какой-либо спорадической простой группы. В частности, в этой работе были даны
первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу Грюнберга — Кегеля, а именно, спорадические простые группы
$J_1$,
$M_{22}$,
$M_{23}$,
$M_{24}$ и
$Co_2$. Однако это исследование не было завершено. В 2006 г. в работе А. В. Заварницина была
установлена распознаваемость по графу Грюнберга — Кегеля группы
$J_4$. Нераспознаваемость по графу Грюнберга — Кегеля
спорадических групп
$M_{12}$ и
$J_2$ была известна ранее, она следует из нераспознаваемости этих групп по спектру. В данной
статье продолжается исследование Хаги с использованием ее результатов. Для каждой из спорадических простых групп
$S$,
изоморфных
$Ru$,
$HN$,
$Fi_{22}$,
$He$,
$M^cL$ или
$Co_3$, определены все конечные группы с таким же графом
Грюнберга — Кегеля, как у
$S$. Тем самым для этих шести групп
$S$ завершено исследование Хаги, и, в частности, решена
проблема распознаваемости по графу Грюнберга — Кегеля.
Ключевые слова:
конечная группа, простая группа, спорадическая группа, спектр, граф Грюнберга — Кегеля, распознавание по графу Грюнберга — Кегеля.
УДК:
512.542
MSC: 20D08,
20D20,
20D60,
20C20,
20C34,
20C40,
05C25 Поступила в редакцию: 30.09.2019
Исправленный вариант: 19.11.2019
Принята в печать: 21.11.2019
DOI:
10.21538/0134-4889-2019-25-4-79-87