Несуществование некоторых Q-полиномиальных дистанционно регулярных графов

И. Н. Белоусов, А. А. Махнев и М. С. Нирова нашли описание $Q$-полиномиальных дистанционно регулярных графов $\Gamma$ диаметра $3$, для которых графы $\Gamma_2$ и $\Gamma_3$ сильно регулярны. Пусть $a=a_3$. $\Gamma$ — граф типа (I), если $c_2+1$ делит $a$; $\Gamma$ — граф типа (II), если $c_2+1$ делит $a+1$; $\Gamma$ — граф типа (III), если $c_2+1$ не делит $a$ и не делит $a+1$. Если $\Gamma$ – граф типа (II), то $a+1=w(c_2+1)$, $t^2=w(w(c_2+1)+c_2)$ и либо
(i) $w=s^2$, $t^2=s^2(s^2(c_2+1)+c_2)$, $(s^2(c_2+1)+c_2$ является квадратом некоторого целого числа $u$, $c_2=(u^2-s^2)/(s^2+1)$, $t=su$, $a=(u^2s^2-1)/(s^2+1)$, либо
(ii) $c_2=sw$, $t^2=w^2(sw+1+s)$, $sw+1+s$ является квадратом некоторого целого числа $u$, $c_2=(u^2-1)w/(w+1)$, $t=uw$, $a=(u^2w^2-1)/(w+1)$ и $\Gamma$ имеет массив пересечений
$$\left\{ \frac{u^3w^2+u^2w^2+uw-1}{w+1},\frac{(u^2-1)uw^2}{w+1},\frac{(u^2w+1)w}{w+1};1, \frac{(u^2-1)w}{w+1},\frac{(u^2w+1)uw}{w+1}\right\}.$$

В случае графа типа (IIii) для $w=u$ мы получаем массив пересечений $\{w^4+w-1,w^4-w^3,(w^2-w+1)w;1,w(w-1),(w^2-w+1)w^2\}$. В статье доказано, что графы с такими массивами пересечений не существуют для четных $w$.