О периодических группах с регулярным автоморфизмом порядка четыре

Изучаются периодические группы вида $G=F\leftthreetimes \langle a\rangle$ с условиями $C_F(a)=1$ и $|a|=4$. Отображение $a:\, F\to F$ по правилу $t\to t^a=a^{-1}ta$ есть автоморфизм группы $F$ без неподвижных точек (регулярный автоморфизм). Конечная группа $F$ разрешима, и ее коммутант нильпотентен (Д. Горенстейн и И. Херстейн, 1961). Локально конечная группа $F$ разрешима, и ее второй коммутант содержится в центре $Z(F)$ группы $F$(Л. Г. Ковач, 1961). Неизвестно, всегда ли локально конечна периодическая группа $F$ (вопрос 12.100 П. В. Шумяцкого из “Коуровской тетради”). В работе доказаны следующие свойства групп. Для $\pi=\pi (F)\setminus\pi (C_F(a^2))$ группа $F$ $\pi'$-замкнута, подгруппа $O_{\pi'}(F)$ абелева и содержится в $Z([a^2,F])$ (теорема 1). Группа $F$, не имеющая бесконечных элементарных абелевых $a^2$-допустимых подгрупп, локально конечна (теорема 2). В не локально конечной группе $F$ есть не локально конечная $a$-допустимая подгруппа, факторизуемая двумя локально конечными $a$-допустимыми подгруппами (теорема 3). Для любого натурального числа $n$, кратного нечетному простому числу, указаны примеры не локально конечных периодических групп с регулярным автоморфизмом порядка $n$.