Некоторые шуровы схемы отношений, связанные с группами Судзуки и Ри

Схемой отношений называется пара $(\Omega,\mathcal{R})$, состоящая из конечного множества $\Omega$ и множества $\mathcal{R}=\{R_0,R_1\ldots, R_s\}$ бинарных отношений на $\Omega$, удовлетворяющего следующим условиям: (1) $\mathcal{R}$ — разбиение множества $\Omega^2$; (2) $\{(x,x)\ |\ x\in \Omega\}\in \mathcal{R}$; (3) ${R_t}^T=\{(y,x)\ |\ (x,y)\in R_t\}\in {\mathcal R}$ для всех $0\le t\le s$; (4) для всех $0\le i,j,t\le s$ существуют константы $c_{ij}^t$ (называемые числами пересечений схемы) такие, что $c_{ij}^t=|\{z\in \Omega| (x,z)\in R_i \text{ и }(z,y)\in R_j\}|$ для любой пары $(x,y)\in R_t$. Схема отношений $(\Omega,\mathcal{R})$ называется шуровой, если для некоторой группы подстановок на $\Omega$ ее набор орбиталов на $\Omega$ совпадает с $\mathcal{R}$. Данная работа посвящена исследованию шуровых схем отношений, связанных с группами Судзуки $Sz(q)$ и Ри ${^2G}_2(q)$, где $q>3$, для которых графы ряда базисных отношений являются антиподальными дистанционно регулярными графами диаметра 3. Пусть $G$ — одна из указанных групп, $r=(q-1)_{2'}$, $B$ — подгруппа Бореля группы $G$, $U$ — унипотентная подгруппа группы $G$, содержащаяся в $B$, $K$ — подгруппа из $B$ индекса $r$, $g$ — инволюция из $G-B$ и $f$ — элемент из $B\cap B^g$ порядка $r$. Пусть $\Omega$ — множество правых смежных классов группы $G$ по подгруппе $K$, $h_i=f^i$ и $h_{r+i}=gf^i$ для всех $i\in \{0,\ldots,r-1\}$. Обозначим через ${\mathcal{R}}$ множество $\{R_0,R_1,\ldots, R_{2r-1}\}$ бинарных отношений на $\Omega$, определенных для каждого $t\in \{0,1,\ldots,2r-1\}$ по правилу: $(Kx,Ky)\in R_t$ тогда и только тогда, когда элемент $xy^{-1}$ содержится в двойном смежном классе $Kh_tK$. В работе доказано, что ${\mathcal X}=(\Omega, {\mathcal{R}})$ — шурова схема отношений, множество базисных отношений которой совпадает с набором орбиталов $G$ на $\Omega$, и установлено, что число пересечений $c_{ij}^t$, где $0\le i,j,t\le 2r-1$, схемы ${\mathcal X}$ равно $|U|$ при $t\le r-1, i,j\ge r$ и $j-i\equiv t \pmod r;$ $(|U|-1)/r$ — при $ i,j,t\ge r;$ $1$ — в случаях, если $ t\le r-1, i,j\le r-1 $ и $ i+j\equiv t \pmod r, $ или $ i\le r-1, t,j\ge r $ и $ j-i\equiv t \pmod r, $ или $ t,i\ge r, j\le r-1 $ и $ i+j\equiv t \pmod r;$ $0$ — в остальных случаях; здесь $|U|=q^2$ при $G=Sz(q)$ и $|U|=q^3$ при $G={^2G}_2(q)$. Как следствие, найдены структурные параметры $m_{h_t}(h_i,h_j)=|\{Kx\in \Omega |\ Kx\subseteq Kh_i^{-1}Kh_t\cap Kh_jK\}|$ алгебры Гекке $\mathbb{C}(K{\setminus}G/K)$ группы $G$ относительно $K$. А именно, показано, что $m_{h_t}(h_i,h_j)$ — это в точности число пересечений $c_{ij}^t$ схемы ${\mathcal X}$ для всех $0\le i,j,t\le 2r-1$. По построению граф базисного отношения $R_t$ с $t\ge r$ схемы ${\mathcal X}$ эквивалентен графу $\Gamma(G,K,Kh_tK)$ смежных классов группы $G$ относительно подгруппы $K$ и элемента $h_t$, и, как известно, является антиподальным дистанционно регулярным графом диаметра 3 с массивом пересечений $\{|U|,(|U|-1)(r-1)/r,1;1,(|U|-1)/r,|U|\}$. Последний факт доказан в более ранней статье автора, где был предложен метод исследования графов $\Gamma(G,K,Kh_tK)$, основанный на анализе взаимного распределения окрестностей их вершин. В настоящей работе приведено доказательство дистанционной регулярности этих графов как следствие из найденных свойств схемы ${\mathcal X}$.