Аналитическое описание множества достижимости для машины Дубинса

Рассматривается трехмерное множество достижимости “в момент” для управляемого объекта “машина Дубинса” (другое название – unicycle). Изучается случай, когда повороты возможны в обе стороны. Для такого случая в предыдущих статьях авторов на основе принципа максимума Понтрягина выделены шесть типов кусочно-постоянных программных управлений, которыми можно ограничиться при изучении границы множества достижимости $G(t_f)$ в заданный момент времени $t_f$. Такие управления были использованы для численного построения множества достижимости и его визуализации. Однако аналитического описания границы множества $G(t_f)$ не было получено. Данная работа посвящена выводу формул для двумерных сечений множества $G(t_f)$ по угловой координате, которые, вообще говоря, не являются выпуклыми. Проанализирована структура указанных сечений. При записи динамики в нормированных координатах аналитическое описание получено в предположении $t_f~{\leq}~2\pi$. Для этого случая сформулирована теорема о необходимых и достаточных условиях перевода движения на границу множества $G(t_f)$. Случай $t_f>2\pi$ пока не охвачен аналитическим описанием из-за усложнения структуры сечений, в частности, за счет потери односвязности множества $G(t_f)$ для некоторых значений $t_f$.