Об эквивалентности гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, связанных специальным преобразованием

Рассматриваются два гильбертовых пространства $H_1$ и $H_2$ с воспроизводящим ядром, состоящие из комплекснозначных функций, заданных на некоторых множествах точек $\Omega_1\subset {\mathbb C}^n,\,\Omega_2\subset {\mathbb C}^m$ соответственно. Нормы в пространствах $H_1$ и $H_2$ имеют интегральный вид
\begin{align*} \|f\|_{H_1}^2=\int_{\Omega_1}|f(t)|^2\,d\mu_1(t), \ \ f\in H_1,\quad \|q\|_{H_2}^2=\int_{\Omega_2}|q(z)|^2\,d\mu_2(z), \ \ q\in H_2. \end{align*}
Пусть $\{E(\cdot,z)\}_{z\in \Omega_2}$ — некоторая полная система функций в пространстве $H_1$. Обозначим
\begin{align*} \widetilde f(z)\stackrel{def}{=}(E(\cdot, z), f)_{H_1} \ \ \forall z\in \Omega_2,\quad \widetilde H_1=\{\widetilde f,\, f\in H_1\}, \\ (\widetilde f_1,\widetilde f_2)_{\widetilde H_1}\stackrel{def}{=}(f_2,f_1)_{H_1}, \quad \|\widetilde f_1\|_{\widetilde H_1}=\|f_1\|_{H_1} \ \ \forall\,\widetilde f_1,\,\widetilde f_2\in \widetilde H_1. \end{align*}
В статье доказано, что гильбертовы пространства $\widetilde H_1$ и $H_2$ эквивалентны (т. е. эти пространства состоят из одних и тех же функций, и нормы этих пространств эквивалентны) тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный взаимно-однозначный оператор ${\mathcal A}$, действующий из пространства $\overline H_1$ на пространство $H_2$, который для любого $\xi\in \Omega_1$ переводит функцию $K_{\overline H_1}(\cdot,\xi)$ в функцию $E(\xi,\cdot)$. Здесь $\overline H_1$ — пространство, состоящее из функций, комплексно-сопряженных к функциям из $H_1$, $K_{\overline H_1}(t,\xi),\, t,\xi\in \Omega_1$ — воспроизводящее ядро пространства $\overline H_1$. Получены и другие условия эквивалентности пространств $\widetilde H_1$ и $H_2$. Также в статье изучаются вопрос эквивалентности пространств $\check H_2$ и $H_1$, и, кроме того, вопрос существования в пространствах $H_1$ и $H_2$ специальных ортоподобных систем разложения. Получено необходимое и достаточное условие, при выполнении которого пространства $H_1$ и $H_2$ эквивалентны. Эта работа является продолжением статьи авторов, в которой рассматривался случай совпадения пространств $\widetilde H_1$ и $H_2$.