Тензорные представления и порождающие множества инволюций некоторых матричных групп

Хорошо известно, что все неприводимые представления групп Шевалле над бесконечными полями и модулярные представления в хороших характеристиках полей определения исчерпываются подпредставлениями тензорных произведений их естественных представлений. В статье рассматриваются такие конкретные два подпредставления и на их основе получаются ответы на два вопроса о числе порождающих инволюций некоторых матричных групп. Для области целостности $D$ характеристики отличной от 2 установлена неприводимость симметрического и внешнего квадратов естественного представления группы $SL_n(D)$ и вычислены их ядра (теорема 1). Обозначим через $n(G)$ (соответственно через $n_c(G)$) минимальное число порождающих (соответственно еще и сопряженных) инволюций группы $G$, произведение которых равно 1. Задачи о нахождении чисел $n(G)$ и $n_c(G)$ для конечных простых групп записаны автором в Коуровской тетради (вопрос 14.69). Исходя из теоремы 1 и неравенства Л. Л. Скотта доказан следующий результат. Пусть $G$ есть $SL_3(D)$ или $SL_6(D)$, где $D$ — область целостности характеристики отличной от 2. Тогда $n(G)>5$, и в частности $G$ не порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, а если $D$ является кольцом целых чисел или конечным полем (нечетного порядка), то $n(G)=n_c(G)=6$ (теорема 2).