Эндоморфизмы конечных коммутативных группоидов, связанных с многослойными нейронными сетями прямого распределения

В данной работе вводятся коммутативные, но в общем случае не ассоциативные группоиды $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$, состоящие из идемпотентов. Группоид $(\mathrm{AGS}(\mathcal{N}),+)$ тесно связан с многослойной нейронной сетью $\mathcal{N}$ прямого распределения сигнала (далее — просто нейронная сеть). Выяснилось, что в таких нейронных сетях задание подсети фиксированной нейронной сети равносильно заданию некоторого специального кортежа, составленного из конечных множеств нейронов исходной сети. Все специальные кортежи, задающие подсеть нейронной сети $\mathcal{N}$, содержатся в множестве $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$. Остальные кортежи из $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$ также имеют нейросетевую интерпретацию. Таким образом, $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})=F_1\cup F_2$, где $F_1$ — множество кортежей, индуцирующих подсети, и $F_2$ — множество остальных кортежей. Если заданы две подсети нейронной сети, то возникают два случая. В первом случае из данных подсетей можно получить новую подсеть путем объединения множеств всех нейронов этих подсетей. Во втором случае такое объединение невозможно по нейросетевым соображениям. Операция $(+)$ для любых кортежей из $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$, индуцирующих подсети, возвращает кортеж, индуцирующий некоторую подсеть, либо возвращает нейтральный элемент, который не индуцирует подсети. Если для двух элементов из $F_1$ операция $(+)$ возвращает нейтральный элемент, то подсети, индуцированные этими элементами, не могут быть объединены в одну подсеть. Для любых двух элементов из $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$ операция имеет нейросетевую интерпретацию. В работе изучаются алгебраические свойства группоидов $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$ и строятся некоторые классы эндоморфизмов таких группоидов. Показано, что всякая подсеть $\mathcal{N}'$ сети $\mathcal{N}$ задает подгруппоид $T$ в группоиде $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$, изоморфный $\mathrm{AGS}(\mathcal{N}')$. Доказывается, что для всякого конечного моноида $G$ будет существовать нейронная сеть $\mathcal{N}$ такая, что $G$ изоморфно вкладывается в моноид всех эндоморфизмов группоида $\mathrm{AGS}(\mathcal{N})$.