Критерии существования периодических и ограниченных решений для трехмерных систем дифференциальных уравнений

В статье исследованы необходимые и достаточные условия существования периодических и ограниченных решений для одного класса трехмерных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В рассматриваемых системах выделены главные нелинейные положительно однородные члены. В терминах свойств главных нелинейных членов сформулированы критерии существования периодических и ограниченных решений. Для периодической задачи доказано, что ранее известное достаточное условие существования периодических решений является и необходимым. В вопросе существования ограниченных решений доказано, что при гомотопии главных нелинейных членов сохраняется свойство существования ограниченных решений. На основе этого доказан новый критерий существования ограниченных решений с использованием методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейного анализа, в том числе метода направляющих функций и топологического метода Важевского. Полученные результаты в дальнейшем можно обобщить для многомерных систем дифференциальных уравнений.