RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Труды Института математики и механики УрО РАН // Архив

Тр. ИММ УрО РАН, 2021, том 27, номер 1, страницы 246–257 (Mi timm1806)

Эта публикация цитируется в 1 статье

On the convergence of minimizers and minimum values in variational problems with pointwise functional constraints in variable domains

[О сходимости минимизантов и минимальных значений в вариационных задачах с поточечно функциональными ограничениями в переменных областях]

A. A. Kovalevskyab

a Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg
b Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin, Ekaterinburg

Аннотация: Рассмотрены последовательность выпуклых интегральных функционалов $F_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$ и последовательность слабо полунепрерывных снизу и, вообще говоря, не интегральных функционалов $G_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$, где $\{\Omega_s\}$ — последовательность областей в $\mathbb R^n$, содержащихся в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), и $p>1$. Наряду с этим рассмотрена последовательность замкнутых выпуклых множеств $V_s=\{v\in W^{1,p}(\Omega_s): M_s(v)\leqslant 0\,\,\text{п.в. в}\,\,\Omega_s\}$, где $M_s$ — отображение $W^{1,p}(\Omega_s)$ во множество всех функций, определенных на $\Omega_s$. Описаны условия, при которых минимизанты и минимальные значения функционалов $F_s+G_s$ на множествах $V_s$ сходятся к минимизанту и минимальному значению некоторого функционала на множестве $V=\{v\in W^{1,p}(\Omega): M(v)\leqslant 0\,\,\text{п.в. в}\,\,\Omega\}$, где $M$ — отображение $W^{1,p}(\Omega)$ во множество всех функций, определенных на $\Omega$. В частности, требуется, чтобы последовательность пространств $W^{1,p}(\Omega_s)$ была сильно связана с пространством $W^{1,p}(\Omega)$ и последовательность $\{F_s\}$ $\it{\Gamma}$-сходилась к функционалу, определенному на $W^{1,p}(\Omega)$. При этом основное внимание уделено условиям на отображения $M_s$ и $M$, которые вместе с соответствующими требованиями на участвующие области и функционалы обеспечивают сходимость решений рассматриваемых вариационных задач. Такие условия были получены в нашей недавней работе, и в настоящей статье мы продвинулись в их изучении.

Ключевые слова: вариационная задача; интегральный функционал; поточечно функциональное ограничение; минимизант; минимальное значение; $\it{\Gamma}$-сходимость; сильная связанность; переменные области.

УДК: 517.972

MSC: 49J40, 49J45

Поступила в редакцию: 16.12.2020
Исправленный вариант: 16.01.2021
Принята в печать: 01.02.2021

Язык публикации: английский

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-246-257



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2025