О показателях степеней коммутаторов из собирательной формулы Ф. Холла

Пусть $G$ — группа, $x,y \in G$. В работе вычисляются в явном виде показатели степеней некоторых коммутаторов из собирательной формулы Ф. Холла для выражения $(xy)^n$, $n \in \mathbb{N}$. Для двух серий коммутаторов: $[y,\!\!\ _ux,\!\!\ _vy]$ и $[[y,\!\!\ _ux],[y,\!\!\ _vx]]$ показатели найдены в холловском виде, т. е. в виде целочисленных полиномов от $n$ с нулевым свободным членом, а также по модулю $n$, когда $n$ — простое число. Для серии коммутаторов $[[y,\!\!\ _{u}x,\!\!\ _{v}y],\!\!\ _{t_{1}}[y,\!\!\ _{u_1}x,\!\!\ _{v_1}y], \ldots,\!\!\ _{t_{h}}[y,\!\!\ _{u_h}x,\!\!\ _{v_h}y]]$ показатели найдены в виде кратных комбинаторных сумм. Как следствие, в работе получен явный вид собирательной формулы Ф. Холла в двух случаях: группа $G$ разрешима ступени 2, коммутант $G'$ нильпотентен ступени 2 и $y \in C_G(G')$. Выведена собирательная формула в явном виде для выражения $(xy)^n$, когда группа $G$ разрешима ступени 3. Результаты получены на основе параметризации несобранной части собирательной формулы функцией бинарного веса числа. Они могут оказаться полезными при решении проблем комбинаторной теории групп, при исследовании конечных $p$-групп на регулярность.