Непрерывное обобщенное решение уравнения Гамильтона – Якоби с трехкомпонентным гамильтонианом

В случае, когда размерность фазового пространства равна единице, изучается задача Коши для уравнения Гамильтона — Якоби эволюционного типа. Область, в которой исследуется уравнение, разбивается на три подобласти. В каждой из подобластей гамильтониан непрерывен, а на их границах терпит разрыв по фазовой переменной. Гамильтониан является выпуклым по импульсной переменной, при этом зависимость от импульсной переменной экспоненциальна. На основе вязкостного/минимаксного подхода вводится определение непрерывного обобщенного решения изучаемой задачи Коши с разрывным гамильтонианом. Доказательство существования такого обобщенного решения имеет конструктивный характер. Вначале строится вязкостное решение в замыкании средней области. При этом существенным является коэрцитивность гамильтониана по импульсной переменной в средней области. Затем решение непрерывно продолжается на две другие области посредством решения вариационных задач с подвижными концами и на основе метода обобщенных характеристик. Единственность обобщенного решения доказывается при условии глобальной липшицевости начальной функции.